Resumo O artigo trata da interpretação que professores e futuros professores fazem dos erros de alunos do ensino fundamental na solução de problemas de estrutura multiplicativa. Os participantes foram 12 futuros professores e 12 professores de matemática do ensino fundamental. Em entrevista semiaberta, foram-lhes apresentadas seis cartelas, cada uma contendo o enunciado de um problema (três de produto de medidas, três de isomorfismo de medidas) cuja solução incorreta deveria ser interpretada. Os entrevistados identificaram erros de natureza procedimental, linguística e conceitual. Futuros professores e professores viram os erros nos problemas de produto de medidas, sobretudo como conceituais, e os erros nos problemas de isomorfismo de medidas, sobretudo como linguísticos. Como o mesmo padrão de resultados quantitativos foi encontrado para os dois grupos, conclui-se que no ensino de matemática, o tipo de problema tem papel relevante na forma de interpretar erros, mais que a formação e a experiência dos professores.

Abstract This study investigates how in-service and pre-service teachers interpret the errors made by students when solving problems of multiplicative structure. Participants were 12 pre-service and 12 Mathematics Elementary School teachers. In a semi-structured interview, each participant was presented six cards, each one containing a mathematical problem (three product of measures and three isomorphism of measures problems) which incorrect solutions should be interpreted. According to the participants, the errors were procedural, linguistic and conceptual in nature. Pre-service and in-service teachers considered the errors in the product of measures problems mostly as conceptual in nature, while errors in isomorphism of measures problems were mostly linguistic in nature. As the two groups showed the same pattern of quantitative results, was concluded that in Mathematics teaching, more than professional training and experience, the nature of the problem has a relevant role in the way that errors are interpreted.

O estudo compara a atitude em relação à matemática de quatro grupos amostrais de estudantes de licenciatura em matemática e de professores de matemática em exercício. Os participantes (n=440) foram voluntários de escolas públicas e privadas escolhidas por conveniência. O referencial teórico se reportou ao construto atitude. Indicadores das razões de escolha do curso superior, dos fatores que dificultam o ensino da matemática e das razões que levam a lecionar matemática foram revelados por meio do uso de instrumentos que forneceram dados de natureza qualitativa. A condição em que a pessoa se encontra no final da licenciatura e no início da carreira, associada à sua autopercepção de desempenho, indica que a mudança de atitude está relacionada às particularidades de um determinado momento da vida estudantil ou profissional. Os resultados sublinham a importância de utilizar diferentes instrumentos para se obter indicadores de atitude com relação à matemática.

The study compares the attitude of four sample groups of mathematics students teaching and mathematics teachers towards mathematics. The participants (n=440) were volunteers from public and private schools chosen by convenience. The theoretical model refers to the construct attitude. The instruments used provided qualitative data about participants' reasons for choosing higher education, factors that hinder the teaching of mathematics and reasons they chose to teach mathematics. The person's condition at the end of the teaching program and at the beginning of career coupled to the self-perception of performance indicates that the change of attitude is related to the particularities of a given moment of the student or professional life. Results highlight the importance of using a variety of instruments to obtain indicators of attitudes towards mathematics.

El estudio compara la actitud con respecto a matemática de la muestra de cuatro grupos de estudiantes de licenciatura y maestros en ejercicio. Los participantes (n=440) eran voluntarios de las escuelas públicas y privadas elegidos por conveniencia. El modelo teórico se replicó en el constructor de actitud. Se encontraron indicadores de las razones de elección del curso superior, de los factores que dificultan la enseñanza y de las razones que llevan a la docencia, mediante el uso de instrumentos que suministraron datos de naturaleza cualitativa. La situación en que la persona se encuentra al final de la licenciatura y al inicio de carrera, asociada a su percepción del desempeño, indican que el cambio de actitud está relacionado con las particularidades de un momento en la vida estudiantil o profesional. Los resultados muestran la importancia de utilizar diferentes instrumentos para obtener indicadores de actitud con respecto a las matemáticas.

O artigo descreve a natureza das soluções de crianças a problemas de produto cartesiano conforme níveis do raciocínio combinatório ali implicados, para identificar a aprendizagem ocorrente e a natureza das intervenções de ensino. Participaram cinco crianças de nove anos, alunas da 3ª série de uma escola municipal de Ensino Fundamental. A coleta de dados foi realizada em duas sessões individuais para solucionar problemas por escrito. A intervenção de ensino da pesquisadora seguiu o estilo clínico-crítico. Da análise qualitativa dos dados gravados em vídeo foram identificados os seguintes níveis de solução: resposta contextualizada sem indício de combinação, primeiras aproximações à solução combinatória, obtenção de algumas combinações e presença de solução combinatória. As formas identificadas de intervenção do adulto foram: orientadora, reorientadora, questionadora e instigadora. A discussão sublinha a relação das intervenções de ensino descritas na ocorrência dos progressos pontuais das crianças em direção a soluções de caráter combinatório.

This paper describes the nature of children's solutions to Cartesian product problems according to their implied levels of combinatory reasoning in order to identify the learning process going on therein, and the nature of teaching intervention. Five nine-year-old students enrolled at the 3rd grade of a state elementary school were the participants. Data were collected during two individual sessions of problem solving. The researcher's teaching intervention was on the clinical-critical format. The qualitative analysis of videotape data resulted in the identification of the following solution levels: contextualized answer without signs of combination, the first approaches to combinatory solutions, the arising of some combinations, and the presence of combinatory solutions. The identified forms of teaching interventions were: orienting, re-orienting, questioning, and instigating. The discussion underlies the relevance of the described teaching interventions to the punctual progress of each child towards solutions with combinatory marks.

O estudo compara a existência e a direção da atitude em relação à Matemática de quatro grupos amostrais: estudantes de licenciatura em matemática em dois momentos de sua formação, e professores de matemática em dois momentos de exercício profissional. Os dados foram obtidos de participantes voluntários (N = 440), por meio de escala de atitude, texto autobiográfico, questionário e entrevista semi-estruturada. A análise estatística dos dados permitiu constatar diferenças na medida de atitudes em relação à Matemática entre os grupos amostrais, sendo significativa a presença de atitude favorável de alunos do início da licenciatura em comparação à de professores em exercício. Essas diferenças foram corroboradas por traços característicos dos tipos de atitude, identificados por análise qualitativa. A mudança de atitude em relação à Matemática pode ser explicada pelas particularidades das diferentes circunstâncias da vida estudantil e profissional. Recomendações para a formação docente em Matemática são sugeridas.

This study compares the existence and direction of attitude towards Mathematics shown by four sample groups composed of students enrolled at Mathematics teachers' College in two moments of their training courses, and Mathematics teachers in two moments of their professional life. Data were obtained from volunteer participants (N = 440), by means of an attitude scale, an autobiographical text, a questionnaire and a semi-structured interview. The statistical analysis show differences in attitude measurements concerning Mathematics among the sample groups, with a significant presence of favorable attitude in students at the beginning of College when compared to attitudes of practicing teachers. These differences were corroborated by the characteristic traits of attitude types, identified by a qualitative analysis. The attitude change toward Mathematics can be explained by the peculiarities of the different circumstances on the students' and the teachers' lives. Recommendations for teaching training in Mathematics are pointed out.

Conforme proposições de Vergnaud e Piaget, os objetivos do estudo são: descrever concepções infantis da divisão por partição expressas em tarefas de aprendizagem de repartir coleções numéricas; identificar níveis da tomada de consciência de relações típicas daquele tipo de divisão. Este processo seria favorecido por tarefas que alternam momentos de repartir coleções, de interpretá-las e de produzir notações interpretadas a respeito. A análise microgenética dos dados videografados descreve a natureza e as alterações das soluções de seis alunos (7 a 8 anos) de uma escola pública que, em tríades, realizaram as tarefas em duas sessões. São descritas hierarquias de concepções da divisão por partição, ligadas à execução prática e às notações. Dessas hierarquias, foram identificados níveis de tomada de consciência de esquemas e relações pertinentes àquela divisão. São discutidos o lugar do repartir na compreensão da divisão e o papel da tomada de consciência de ações nessa aprendizagem conceitual.

According to Vergnaud's and Piaget's proposals, the study aims to describe children's conceptions of partitive division expressed on learning tasks of sharing numerical collections, and to identify the grasp of consciousness levels of the typical relations which define that kind of division. This process is supposed to be enhanced by tasks, which alternate moments of practical sharing of numerical collections, notation production and their interpretation. The microgenetic analysis of videotaped data describes the nature and the changes of six students' solutions (7 to 8 years old) to those tasks. These students were attending a State Elementary School and they performed the tasks in triads, during two sessions. Results show children's conceptions of partitive division disposed on two hierarchies, one for the practical executions and other for the notations. Both hierarchies give support to the identification of the grasp of consciousness levels of schemata and relations inherent to that type of division. The status of the sharing activities on the comprehension of partitive division and the role of the grasp of consciousness of actions in this conceptual learning are discussed.

O artigo descreve elaborações iniciais de matemática de crianças pré-escolares, no contexto de trabalho com literatura infantil. Estudos contemporâneos mostram a riqueza das referidas elaborações, mas são pouco numerosos os que tomam histórias infantis como contexto de iniciação matemática. Para examinar as possibilidades dessa alternativa, foi composto ao acaso um grupo de sete crianças (faixa etária: cinco anos), alunos de uma instituição particular. O grupo passou por três sessões de aprendizagem sobre noções da aritmética elementar apresentadas na forma de problemas sobre eventos da história "Branca de Neve e os Sete Anões". Propostos oralmente pela pesquisadora no papel de professor, os problemas da primeira e da segunda sessão versaram sobre adição-subtração, proporção dois para um e comparação de medidas intensivas. Na terceira sessão, as crianças foram convidadas a propor problemas sobre temas da história, além de solucionar problemas propostos pelo adulto. Todas as soluções orais e as notações interpretadas de cada criança foram registradas em vídeo e analisadas qualitativamente. Os resultados apontam para: formas de cálculos orais, aditivos e subtrativos, com notações correspondentes (desenhos e algarismos); comparações qualitativas de medidas intensivas e cálculo aditivo em relações proporcionais. As notações produzidas foram apoio para a expressão dos cálculos e relações elaboradas pelascrianças. É discutida a importância: das histórias infantis como contexto favorável às elaborações matemáticas na educação infantil, e como forma de integrar o trabalho em matemática ao de exploração do vocabulário e da imaginação infantis; das formas de intervenção do professor.

The paper describes the first mathematical conceptual constructions of preschoolers and how they occur on working with children's stories. Current studies show how rich are those initial concepts; however, few among them take into account children's stories as a context for mathematical initiation. In order to evaluate the possibilities of that alternative, a group of seven children (five years-old) of a private preschool was composed at random in order to take three lessons about elementary arithmetical notions, presented as problems involving events of "Snow White and the seven dwarves". Orally presented by the researcher as a teacher, problems of the first and the second sessions referred to addition-subtraction, ratio two for one and comparison of intensive measures. On the third session, the children were invited to create problems about the story issues, but they also solved problems proposed by the researcher. All the verbal solutions and the interpreted notations of each child were videotaped and qualitatively analyzed. Results point out to: forms of additive and subtractive oral calculations, with their corresponding notations (drawings and digits); qualitative comparisons of intensive measures, and additive calculations of basic proportional relations. The support provided to the children by the produced notations was predominant to their verbalization of the calculations and the elaborated relations. The discussion focuses on the relevance of: children's stories as a favorable context to mathematical elaboration of preschoolers, and as a way to integrate the mathematical initiation to the enhancing of children's vocabulary and imagination; forms of teacher's intervention.

O estudo trata da aprendizagem das estruturas aditivas em sua passagem às multiplicativas conforme o modelo da equilibração e as proposições de Vergnaud sobre campos conceituais. Descreve a natureza e as transformações de notações infantis em tarefas de igualização e de repartição de grandezas, e verifica a significação das notações produzidas no exame das relações psicogenéticas entre aquelas estruturas. Os 12 participantes (6,4 a 9,5 anos de idade), alunos de duas escolas públicas de periferia urbana de duas regiões metropolitanas diferentes, executaram, em tríades, tarefas com momentos alternados de execução prática e de notação interpretada do executado. A análise qualitativa microgenética dos dados videografados resultou em tipos de notação e em tendências de transformação conceitual reveladas pelas notações. A discussão sublinha a natureza e as alterações das notações descritas, e o lugar relevante, nas relações psicogenéticas entre as estruturas consideradas, de esquemas inerentes a ambas, igualização e repartição.

The paper concerns the learning of additive structures on its way to the multiplicative ones according to the equilibration model and Vergnaud's propositions about conceptual fields. It describes the nature and the changes of children's notations produced on tasks of equalization and partition of quantities, and verifies the meaning of those notations in the study of the psychogenetic relationship between those structures. The 12 participants (6,4 to 9,5 years old), attending two State Elementary Schools from suburbs of two different metropolitan areas, performed in triads the tasks, which alternated moments of practical compositions, notations production and their interpretation. The qualitative microgenetic analysis of videotaped data resulted in notation types and in tendencies of the conceptual transformations shown by the notations. The discussion underlines the nature and the progression of the described notations, and the relevant role of equalization and repartition as inherent schemata to the psychogenetic relationship between the focused structures.

O artigo apresenta um estudo de caso sobre as relações da interação social de crianças com suas construções cognitivas individuais de aprendizagem da adição/subtração, segundo proposições da epistemologia genética. Os resultados vêm da análise qualitativa microgenética da seqüência completa, gravada em vídeo, dos eventos referentes às inter-relações: a) das estratégias cognitivas expressas por três meninos que, juntos, resolveram tarefas relativas ao conteúdo aritmético citado; b) daquelas estratégias com as intervenções do adulto. Os sujeitos (idades de 7,4; 8,6; e 9,1) eram alunos de primeira série de uma escola pública. Os resultados apoiam parcialmente hipóteses sobre um modelo cíclico complexo de inter-relações das realizações dos parceiros e destas com as intervenções do adulto. O modelo piagetiano da equilibração explica a complexidade das interações sociais discutidas, em suas relações necessárias mas não suficientes com as construções cognitivas individuais.

The paper presents a case study about the relationship between children’s social interactions and children’s cognitive constructions of addition/subtraction according to propositions of the genetic epistemology. Results come from a microgenetic qualitative analysis of the complete sequence of videotaped events concerning the interrelationship among: a) cognitive strategies expressed by three boys when solving together learning tasks about addition/subtraction; b) those strategies with adult’s interventions. Subjects were three boys (aged 7,4; 8,6; and 9,1) who attended the first grade of a public Elementary School. Results partially support the proposed hypotheses of a complex cyclical model of interrelationship among partners’ productions and with adult’s interventions. Piaget’s equilibration model explains the complexity of the discussed social interactions, in their necessary, but not sufficient relationship, with the individual cognitive constructions.

O estudo relata condutas de adolescentes frente a "erros" e "acertos" quando em interação com a linguagem Logo de programação. Os sujeitos foram cinco adolescentes de catorze a dezessete anos de idade, alunos de séries inicias de 1o Grau de uma instituição estadual de atendimento social de Curitiba. As sessões de programação foram individuais, acompanhadas pelo pesquisador, com dados gravados em disquete e vídeo. As verbalizações dos sujeitos após "erros" e "acertos" foram qualitativamente descritas em níveis sucessivos. As categorias obtidas revelaram um processo de modificação na avaliação das condutas frente aos "erros", passando os sujeitos pau-latinamente de uma perspectiva negativa à incorporação positiva do erro ao processo. As verbalizações frente aos acertos revelaram avaliações positivas dos sujeitos sobre si mesmos e sobre a produção própria.

This study describes teenagers’ behaviors related to "errors" and "successes" on Logo programming. Five subjects were randomly selected among teenagers of a special public institution in Curitiba, Brazil. They were 14 to 17 years old and attended the initial grades of elementary school. They worked with Logo language in individual sessions assisted by the researcher. The output was registered on disk. The individual verbal behavior after "errors" and "successes" were registered on video and described on different levels of qualitative analyses. The categories which were obtained indicated a changing process on notions and attitudes toward "errors" and a positive evaluation about themselves and their production.

O artigo tem como objetivo provocar a reflexão sobre os fundamentos psicopedagógicos do processo da alfabetização. Expõe à discussão algumas idéias sobre a aprendizagem e a ação pedagógica do professor segundo a teoria epistemológica de Piaget, e em sua relação com a proposta de Ferreiro sobre a psicogênese da escrita.

The purpose of the article is to stimulate reflections about the psychopedagogical basis of the literacy process. It offers some ideas for discussion about learning and teacher's pedagogical work, according to his relationship with proposals about the psychogenesis of the written language.